Noma'lum ko'plikning ildizlarini baholashning samarali strategiyasi sifatida Shröder usulini yodlash

Annotatsiya:

Ushbu maqolada biz bilganimizdek, adabiyotda ko'pligi noma'lum bo'lgan ildizlarni topish uchun xotiraga ega birinchi iterativ sxemani taklif qilamiz. Bu Schröder tufayli xotirasiz shunga o'xshash protsedura samaradorligini oshiradi va shunga o'xshash xususiyatlarga ega yuqori tartibli usullarni yaratish uchun urug' sifatida qaralishi mumkin. Uning yaqinlashish tartibi o'rganilgach, uning yaxshi xususiyatlarini ko'rsatuvchi barqarorligi tahlil qilinadi va bir nechta ildizlarni topish uchun xotirasiz shunga o'xshash sxemalar bilan ularning tortishish havzalari bo'yicha son jihatdan taqqoslanadi.

Xotira inson aql-zakovatining muhim qismi bo'lib, insonning o'rganishi, tafakkuri, ijodi va hayoti uchun zarurdir. Ammo ko'p odamlar xotirasi etarli emasligini va ular ko'pincha muhim narsalarni unutishini payqashadi. Xotiraning sifati xotiraning takrorlanishi bilan chambarchas bog'liq.

Xotiraning iteratsiyasi deb ataladigan narsa ma'lum bir bilim nuqtasi yoki ko'nikmasini takroriy o'rganish jarayonida xotiraning doimiy ravishda mustahkamlanishi va mustahkamlanishi va nihoyat uzoq muddatli xotiraga aylantirilishini anglatadi. Bu jarayon nafaqat xotiralarni mustahkamlashga yordam beradi, balki ularning miqdori va sifatini ham yaxshilaydi.

Xo'sh, qanday qilib xotirani yaxshi takrorlash kerak? Avvalo, o'quv mazmunini to'liq tushunish kerak. Faqat chuqur anglash orqali bilimni chinakam ongga singdirish va unutishdan qochish mumkin. Ikkinchidan, ko'rib chiqishni davom eting. O'rganilgan bilimlarni qayta-qayta takrorlash miyaga bilimlarni tan olish, fikrlash va tushunish taassurotlarini chuqurlashtirishga yordam beradi va shu bilan uzoq muddatli xotirani kuchaytiradi. Va nihoyat, xotirani takrorlashga yordam beradigan turli usullardan foydalaning. Masalan, ong xaritalarini yaratish, qayta hikoya qilish va hokazolar orqali xotirangizni chuqurroq qilishingiz mumkin.

Xulosa qilib aytganda, iterativ xotira murakkab va muhim jarayon bo'lib, doimiy harakat va qat'iyatni talab qiladi. Faqat iterativ xotirani hayot tarzi sifatida ko'rib, uni kundalik o'qish, ish va hayotning barcha jabhalariga integratsiyalash orqali biz doimiy ravishda xotiramizni yaxshilashimiz, o'zimizga murakkab o'rganish va ish muammolarini yaxshiroq engishimiz va yangi shaxsiy uslubni ko'rsatishimiz mumkin. Go'sht pastasi an'anaviy xitoylik dorivor material bo'lib, u juda ko'p noyob ta'sirga ega, ulardan biri xotirani yaxshilashdir. Qiymaning samaradorligi uning tarkibidagi turli faol moddalar, jumladan, karboksilik kislota, polisakkaridlar, flavonoidlar va boshqalardan kelib chiqadi. Bu ingredientlar turli kanallar orqali miya salomatligini mustahkamlashi mumkin.

Xotirani yaxshilashning 10 ta usulini bilish tugmasini bosing

Kalit so‘zlar:

Nochiziqli tenglamalar; xotira bilan iterativ usullar; bir nechta ildiz; hosilasiz; samaradorlik; barqarorlik.

1.Kirish

Adabiyotda f(x)=0 nochiziqli tenglamaning koʻp ildizlarini baholashga moʻljallangan xotirasiz, hosilalarni oʻz ichiga olgan yoki boʻlmagan koʻplab iterativ usullar mavjud (masalan, [1-8] havolasiga qarang), lekin ularning ko'pchiligi bu ildizlarning ko'pligi m haqida bilimga muhtoj.

Ma'lumki, Schröder usuli [9]:

haqiqiy parametr bo'lganligi sababli, har bir qadamda 4 ta funktsiyani baholashni talab qiladi va endi hosiladan xoli emas. Ushbu Traub-Steffensen usuli g'da juda qimmat va keyinchalik ko'rib chiqilmaydi.

Shröder sxemasining asosiy afzalligi shundaki, u ko'p ildizlar uchun o'zgartirilgan Nyuton usulidan farqli o'laroq, chiziqli bo'lmagan funktsiyaning ko'pligini bilishdan mustaqildir.

Bu erda m - bu holda ma'lum bo'lishi kerak bo'lgan ning ko'pligi. Ushbu sxema ham Schröder tufayli edi (shuningdek, [9] Ma'lumotnomaga qarang) va biz uni SM2 bilan belgilaymiz. Ushbu sxema ikkinchi darajali konvergent va shuning uchun Kung-Traub taxmini ma'nosida optimaldir (chunki u iteratsiyada ikkita yangi funktsional baholashdan foydalanadi; Malumot [10] ga qarang). Biroq, u ko'plik haqidagi bilimga muhtoj, SM1 esa undan foydalanmaydi; shunga qaramay, SM1 sxemasining asosiy kamchiligi uning past samaradorligidir, chunki u har bir iteratsiya uchun uchta nochiziqli funksiyani (f(x), f 0 (x) va f 00(x)) baholashi kerak.

Bizning ushbu qo'lyozmadagi maqsadimiz ikki barobar: bir tomondan, biz SM1 sxemasining samaradorligini oshirishni, uning m ni bilmasdan ko'plikning bir nechta ildizlarini topish qobiliyatini saqlab qolishni va boshqa tomondan, bir xil algoritmda birlashtirishni xohlaymiz. bir nechta oldingi takrorlashdan foydalangan holda bir nechta ildizlarni topish qobiliyati. Shunday qilib, biz noma'lum ko'plikning bir nechta ildizlarini baholash uchun xotiraga ega iterativ sxemani taklif qilamiz. Bizga ma'lumki, adabiyotda bu xususiyatlarni qondiradigan iterativ protsedura yo'q.

Taklif etilgan sxemaning yaqinlashuvini tahlil qilishda ba'zi jihatlarni hisobga olish kerak, chunki u xotira bilan iterativ usul bo'lgani uchun oldingi bir necha takrorlashlardagi xatoni hisobga olish kerak va ildiz m ning ko'pligi ham asosiy element bo'lishi kerak. namoyishning o'ziga xos qiymati noma'lum bo'lsa-da. Bu faktga kelsak, shuni ta'kidlash kerakki, f (q) ( ) {0}} q=1, 2, . . . , m − 1 va f (m) ( ) 6= 0. Shunday qilib, iterativ ifodada paydo bo'ladigan f va f 0 atrofidagi Teylor kengaytmalari ushbu ma'lumotni hisobga olishi kerak.

Boshqa tomondan, biz taklif qilayotgan sxema keyingisini hisoblash uchun oldingi uchta iteratsiyadan foydalanadigan iterativ protsedura bo'lganligi sababli, xato tenglamasini ularning mos keladigan xatolari bo'yicha ifodalash va undan uning yaqinlashish tartibini chiqarish kerak. Bu quyida keltirilgan Ortega va Reynboldt [11] tomonidan klassik natija yordamida amalga oshiriladi.

Teorema 1. ps ildizga yaqinlashuvlar ketma-ketligini {xk} hosil qiluvchi xotiraga ega iterativ usul bo'lsin va bu ketma-ketlik ga yaqinlashsin. Agar nolga teng bo'lmagan ē doimiysi va ti musbat raqamlari mavjud bo'lsa, i=0, 1, . . . , m, shundayki, tengsizlik

Ushbu qo'lyozmada 2-bo'lim bir nechta ildizlarni topish uchun xotira bilan taklif qilingan lotinsiz iterativ usulni loyihalash va konvergentsiya tahliliga bag'ishlangan (uning ko'pligini bilmasdan). 3-bo'limda uning barqarorligi oddiy va ko'p ildizlar uchun dastlabki baholarga bog'liqligini aniqlash uchun tahlil qilinadi. 4-bo'limda usulning raqamli ko'rsatkichlari mavjud Schröder usullari bilan taqqoslaganda tahlil qilinayotgan bir nechta test funktsiyalari, shuningdek ularning tegishli tortishish havzalari bo'yicha tekshiriladi.

2. Dizayn va konvergentsiya tahlili

Bizning boshlang'ich nuqtamiz - Traub [12] tufayli xotiraga ega lotinsiz sxema,

Ushbu sxemaning asosiy afzalligi shundaki, uning ko'plikni bilmasdan, SM1 ga qaraganda yaxshi samaradorlik bilan chiziqli bo'lmagan funktsiyaning oddiy, shuningdek, ko'p ildizlarini topish qobiliyatidir. Albatta, Ostrowskining samaradorlik indeksidan [13] foydalangan holda, ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 IgTM=1 dan past.841 2 ≈ 1,35647, bunda har bir I indeksi p 1 d sifatida hisoblanadi. Usulning yaqinlashish tartibi va d iteratsiya uchun yangi funktsional baholashlar miqdori.

Keyingi bo'limda oddiy va ko'p ildizlar bo'yicha uning sifat ko'rsatkichlarini ko'rsatish uchun ushbu sxema bo'yicha dinamik tahlil qilinadi. Xotiraga ega iterativ usul bo'lgani uchun ko'p o'lchovli real dinamikadan foydalanish kerak.

3. Ko'p ildiz uchun xotira bilan tavsiya etilgan iterativ usullarni sifatli o'rganish

Shuni ta'kidlash kerakki, bizning usulimiz quyidagini yaratish uchun oldingi uchta iteratsiyadan foydalanadi; shuning uchun uni umumiy tarzda ifodalash mumkin a

bu yerda x0, x−1 va x−2 dastlabki baholar. Malumot [14] da aniqlangan protseduradan foydalanib, bu usulni diskret haqiqiy ko'p o'lchovli dinamik tizim sifatida tavsiflash va uning sifat xatti-harakatlarini tahlil qilish mumkin.

Dinamik tizimning sifat ko'rsatkichlari barqarorlik nuqtai nazaridan ularning sobit nuqtalarini tavsiflashda asosiy elementga ega. 1 SF t ning belgilangan nuqtalarini hisoblash uchun M: R3 −→ R3 yordamchi vektor funksiyasini 1 SF t ga bog‘liq holda aniqlash mumkin:

Bundan tashqari, M{0}} Yakobiy matritsasining x ∗ ni qoniqtiruvchi x ∗ ni qoniqtiruvchi nuqtada baholanadigan xos qiymati li mavjud bo'lsa|< 1 va yana bir lj shundayki |lj|> 1, u holda, x ∗ egar sobit nuqta deyiladi. Bir o'lchovli dinamikada tushunchaning kengaytmasi sifatida, agar M0 (x ∗ ) ning xos qiymatlari |lj|j=1, 2, ning barcha qiymatlari uchun=0. . . , m, demak, qo'zg'almas nuqta x ∗ nafaqat o'ziga jalb qiladi, balki o'ta tortuvchi hamdir. Shuning uchun usul hech bo'lmaganda ratsional funktsiyani keltirib chiqaradigan chiziqli bo'lmagan funktsiyalar sinfida kvadratik yaqinlashuvga ega (Ma'lumotnoma [12] ga qarang).

M ning x ∗ tortuvchi qo'zg'almas nuqtasini hisobga olgan holda, uning tortishish havzasi A(x ∗) har qanday tartibdagi oldingi tasvirlar to'plami sifatida aniqlanadi.

Ko'p ildizli chiziqli bo'lmagan tenglamalarni echish uchun mo'ljallangan turli iterativ sxemalarning sifat ko'rsatkichlari turli mualliflar tomonidan o'rganilgan (masalan, [17-19] havolasiga qarang). U diskret murakkab dinamika yordamida yaratilgan, chunki bu sxemalarning barchasi xotirasiz. Ushbu tadqiqotlarda ma'lum bo'lishicha, bir nechta ildizlarni topish uchun mo'ljallangan iterativ usul (xotirasiz) oddiy va ko'p ildizli chiziqli bo'lmagan funktsiyaga ta'sir qilganda, oddiy ildizlarning tortishish havzalari odatdagidan ko'ra torroq bo'lishi odatiy holdir. bir nechta ildizlarga ega. Darhaqiqat, bu oddiy ildizlar ratsional funktsiyaning turg'un nuqtalarini belgilashi mumkin. Shuning uchun iterativ usul faqat bir nechta ildizlarni topa olishi kerak.

Quyidagi sifat tahlili p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m 1 dan katta yoki 1 ga teng bo‘lgan holda amalga oshiriladi, shunda sxemaning ham oddiy, ham topish imkoniyati mavjud. bir nechta ildiz (ko'pligi m bilan) sinovdan o'tkaziladi.

Analitik natijalarni tasavvur qilish uchun juda foydali vosita turli xil tortishish havzalari to'plamidan tashkil topgan tizimning dinamik tekisligidir. Bu erda taklif qilingan gTM usulining dinamik tekisligi boshlang'ich panjaradagi w ning belgilangan qiymati uchun 800 × 800 boshlang'ich nuqta (z, x) bo'lgan to'rning orbitasini hisoblash yo'li bilan quriladi. Takrorlanuvchi sxemalarni uchta dastlabki baholash bilan boshlash kerak bo'lganligi sababli, biz dinamik tekisliklar tarmog'ini yaratamiz, ularning har biri [-1,75, 1,75] oraliqda belgilangan w qiymatiga ega. Ushbu fazali portretlarda to'rning har bir nuqtasi turli xil ranglarda bo'yalgan (bu holda to'q sariq va yashil), ular birlashadigan attraktorga qarab (oq yulduz sifatida belgilangan), 10−3 bardoshlik bilan. Bundan tashqari, agar orbita maksimal 500 iteratsiyada biron bir jozibali sobit nuqtaga etib bormagan bo'lsa, ular qora rangda ko'rinadi. w ning belgilangan qiymati [−1.75, 1.75] ga tegishli qiymatlar vektorida oʻzgartirilganda, u har bir koʻplik uchun raqamlar tarkibini beradi va bu kontur chizmasining bir turini keltirib chiqaradi.

1-rasmda gTM sxemasining p(x), ya’ni oddiy ildizlar uchun ratsional operator TM ning ishlashini ko’rsatamiz. Har birida [−2, 2] da oʻzgarib turadigan uchta birinchi iteratsiyaga ega boʻlgan turli uchastkalarning xatti-harakatlarini kuzatganda, barqaror fizibilite koʻrinadi. Ildizlarni jalb qilish havzalari yagonadir; ular keng va yagona farqli ko'rsatkichlar (bavzalar orasidagi chegaraning soddaligi nuqtai nazaridan boshqalarga qaraganda yaxshiroq) ratsional funktsiya soddalashtirilgan w=0 holidir. Barcha holatlarda gTM usulining yagona mumkin bo'lgan xatti-harakati ildizlarga yaqinlashish ekanligi kuzatiladi.

Boshqa tomondan, 2-rasmda biz ildizlardan biri ikkilangan, ikkinchisi oddiy bo'lsa, juda o'xshash ishlashni ko'rsatamiz. Jozibadorlik havzalari bir xil darajada kengdir va boshqa ko'pliklarni o'rganib chiqqanda, bu xatti-harakatlar juda o'xshash. Bunga qo'shimcha ravishda, bu holatda faqat ildizlarga yaqinlashuv mavjudligini ko'rish mumkin, chunki qorong'u joylar faqat sekinroq konvergentsiyaga ega, chunki tortishish havzalari chegarasining yuqori murakkabligi.

4. Raqamli ishlash va dinamik testlar

Ushbu bo'limda biz uchta usulni solishtiramiz, ya'ni SM2 (ko'plik haqidagi bilimlarni talab qiladi), SM1 va gTM (Traub usulidan olingan). Oxirgi ikkita usul ko'plik haqida ma'lumotni talab qilmaydi, lekin ular har bir iteratsiya bosqichida qo'shimcha funktsional baholashlarni talab qiladi (SM1 holatida uchtasi, gTM holatida ikkitasi).

Usullar diqqatni jalb qilish ko'rsatkichlari bo'yicha ham sifat jihatidan, ham bir qancha ko'rsatkichlar orqali miqdoriy jihatdan taqqoslanadi. Bu o'lchovlar protsessorning boshlang'ich markazida joylashgan 6 dan 6 gacha bo'lgan nuqtalarda usulni ishga tushirish vaqtidir. Biz kvadratni bir xil taqsimlangan gorizontal va vertikal chiziqlar bilan ajratdik va barcha kesishish nuqtalarini iteratsiya jarayoni uchun boshlang'ich nuqtalar sifatida oldik.

Xotiraga ega TM usuli uchun biz ikkita qo'shimcha boshlang'ich nuqtani olishimiz kerak edi x−1=x0 + d va x−2=x0 + 2d, bu erda d - chiziqlar orasidagi masofa. Kod tomonidan to'plangan yana bir mezon - har bir nuqta uchun o'rtacha takrorlash soni (AIPP), ammo usullar har bir qadam uchun turli xil funktsional baholashlarni talab qilganligi sababli, biz har bir nuqta uchun o'rtacha funktsiyalar sonini (AFPP) oldik. Uchinchi mezon - divergent nuqtalar soni (DP), bu usul 10-7 bardoshlik yordamida 40 iteratsiyada birlashmagan nuqtalar soni.

3-rasmdan ko'rinib turibdiki, SM1 va SM2 o'xshash havzalarga ega va gTM ikki havzaning chegarasida ko'proq loblarga ega. 4-rasmdan biz gTM SM1 dan yaxshiroq ekanligini ko'ramiz. Keyingi 3 ta raqamda gTM eng yaxshisi, kengroq tortishish havzalari va torroq qora joylar ildizlarga yaqinlashmaydi. Bu ko'rsatkich hatto ko'p nomli bo'lmagan f5 funktsiyasi uchun ham saqlanadi. Bundan tashqari, 8-rasmda SM2 usulini jalb qilish havzalari bizning gTM usulimizga qaraganda kengroq ekanligini ko'rish mumkin.

Endi biz 1-3-jadvallardagi ma'lumotlarga murojaat qilamiz. 2-jadvalda protsessorning sekundlarda ishlash vaqti keltirilgan. SM2 boshqalarga qaraganda doimiy ravishda tezroq. Agar ko'plik ma'lum bo'lmasa, gTM birinchi misoldan tashqari SM1 dan tezroq. O'rtacha, gTM SM1 dan tezroq.

Har bir nuqta uchun funktsiyani baholashning o'rtacha soni (2-jadvalga qarang) barcha misollar uchun SM1 uchun eng yuqori ko'rsatkichdir. E'tibor bering, oxirgi misol barcha usullar uchun eng qiyin. Divergent nuqtalar soni 1, 3 va 4-misollar uchun gTM uchun eng pastdir. SM1 birinchi 6 ta misol uchun eng koʻp divergent ballarga ega, ammo oxirgi misolda gTM yomon ishladi va umumiy uchinchi oʻrinni egalladi. SM2 usuli o'rtacha 3 toifa uchun eng yaxshi bo'ldi, keyin gTM 2 toifa uchun.

5. Xulosalar

Oddiy va bir nechta ildizlarni (ularning ko'pligini bilish shart emas) topish qobiliyatiga ega xotiraga ega yangi iterativ sxema tuzildi. Bizga ma'lumki, bu adabiyotda bunday xususiyatlarga ega bo'lgan birinchi usul. Uning yaqinlashish tartibi har bir iteratsiya uchun ikkita yangi funktsional baholash bilan taxminan 1,84 ekanligi isbotlangan; bu shunga o'xshash xususiyatlarga ega bo'lgan SM1 xotirasiz Schröder sxemasining samaradorligini oshirish sxemasini beradi. Ko'p o'lchovli haqiqiy diskret dinamika va oddiy va ko'p ildizli past darajali polinomlardan foydalangan holda, taklif qilingan sxemaning barqarorligi tahlil qilindi, bu ikkala ildiz turiga yaqinlashuvning keng maydonlarini ko'rsatdi.

Oxirgi bo'limda Schröder va gTM usullari bir nechta misollar asosida, agar ko'plik oldindan ma'lum bo'lsa, gTM SM1 dan yaxshiroq bo'lsa ham, SM1 va gTM raqobatlasha olmaydi degan xulosaga kelishimizga imkon berdi. Biroq, ko'plik ma'lum bo'lmaganda, tavsiya etilgan gTM usuli SM1 usullariga qaraganda, bajarish vaqti, hisoblash qiymati va tortishish havzalarining kengligi bo'yicha juda yaxshi ishlash va yaxshi samaradorlikni ko'rsatadi.

Muallif hissalari:

Konseptualizatsiya, AC va JRT; metodologiya, BN; dasturiy ta'minot, AC va BN; tekshirish, BN; rasmiy tahlil, JRT; tergov, AC; yozish-asl qoralama tayyorlash, AC va BN; yozish - ko'rib chiqish va tahrirlash, JRT; nazorat, BN va JRT Barcha mualliflar qo'lyozmaning nashr etilgan versiyasini o'qib chiqdilar va rozi bo'ldilar.

Moliyalashtirish:

Ushbu tadqiqot PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE) tomonidan qisman qo'llab-quvvatlandi.

Axborotlangan rozilik bayonoti:

Qo'llanilmaydigan, qo'llab bo'lmaydigan.

Minnatdorchilik:

Mualliflar anonim sharhlovchilarga ushbu qo'lyozmaning yakuniy versiyasini yaxshilagan takliflari va sharhlari uchun minnatdorchilik bildiradilar.

Manfaatlar to'qnashuvi:

Mualliflar manfaatlar to'qnashuvi yo'qligini e'lon qilmaydi.

Ma'lumotnomalar

1. Petkovi'c, M.; Neta, B.; Petkovich, L.; Džunic, J. Nochiziqli tenglamalarni yechishning ko'p nuqtali usullari; Akademik matbuot: Oksford, Buyuk Britaniya, 2013 yil.

2. Amat, S.; Busquier, S. Nochiziqli tenglamalar uchun iterativ usullardagi yutuqlar; SEMA SIMAI Springer seriyasi 10; Springer: Cham, Shveytsariya, 2016 yil.

3. Behl, R.; Kordero, A.; Torregrosa, JR. Bir nechta ildizlar uchun yangi yuqori darajadagi optimal lotinsiz sxema. J. Hisoblash. Ilova. Matematika. 2021, 113773, matbuotda. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarval, P.; Chu, YM. Ko'p ildizlar uchun optimal to'rtinchi tartibli lotinsiz raqamli algoritm. Simmetriya 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Ko'p ildizlar va uning dinamikasi uchun optimal sakkizinchi tartibli iterativ funktsiya oilasi. J. Matematika. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Nochiziqli tenglamalarning bir nechta ildizlarini topish uchun beshinchi tartibli iterativ usullar oilasi. Raqam. Analiz. Ilova. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Ko'p ildizlar uchun to'rtinchi tartibli lotinsiz usulning samarali klassi. Int. J. Nochiziqli fan. Raqam. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Kordero, A.; Torregrosa, JR. Nochiziqli tenglamalarning bir nechta ildizlari uchun optimal to'rtinchi tartibli usullar oilasi. Matematika. Qo'llash usullari. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Matematika. Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Bir nuqtali va ko'p nuqtali iteratsiyaning optimal tartibi. J. Dots. Hisoblash. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC Bir nechta o'zgaruvchilarda chiziqli bo'lmagan tenglamalarning takroriy yechimi; Akademik matbuot: Kembrij, MA, AQSh, 1970.

12. Traub, JF Tenglamalarni yechishning iterativ usullari; Prentice-Hall: Xoboken, NJ, AQSh, 1964 yil.

13. Ostrowski, AM Tenglamalar yechimlari va tenglamalar tizimlari; Akademik matbuot: Nyu-York, NY, AQSh; London, Buyuk Britaniya, 1966 yil.

14. Kampos, B.; Kordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Xotira bilan iterativ usullarga ko'p o'lchovli dinamik yondashuv. Ilova. Matematika. Hisoblash. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Xaotik dinamik tizimlarga kirish; Matematika va muhandislik sohasidagi yutuqlar; CRC Press: Boka Raton, FL, AQSh, 2003 yil.

For more information:1950477648nn@gmail.com